I DR’s dramaserie ‘Arvingerne’ er Gro, Frederik, Emil og Signe havnet i et bittert opgør om arven efter deres mor, Veronika Grønnegaard.
Der er ikke lagt op til en retfærdig løsning, for som en gammel talemåde siger, skal man ikke finde retfærdighed i juraen, men muligvis i teologien. En andet sted at finde retfærdighed kunne være i matematikken, som anvist i en ny artikel i Notices of the American Mathematical Society.
Penge og ting, der kan omsættes i penge, er let at fordele mellem arvinger. Det er mere vanskeligt, når det drejer sig om ting, der er udelelige, og som har forskellig værdi for de forskellige arvinger.
Her vil det være rart at have en god algoritme, der kunne fordele tingene på den mest retfærdige måde, og det er netop en sådan, Steven J. Brams fra New York University i USA, D. Marc Kilgour fra Wilfrid Laurier University i Canada og Christian Klamler fra Karl-Franzens-Universität Graz i Østrig præsenterer i deres artikel.
Kun fordeling mellem to
De tre matematikere og økonomer analyserer dog kun tilfældet, hvor to personer skal fordele ting, der hver især er udelelige. Men Gro, Frederik, Emil og Signe kunne jo dele sig i to hold – og dernæst fordele tingene inden for hvert hold.
Brams, Kilgour og Klamler bemærker, at fordeling efter princippet ‘jeg deler, du vælger’ har været indgroet i mange samfund, siden Abraham og Lot delte Kana’an og Jordan på denne måde (Første Mosebog, kap. 13). Der findes en række varianter for, hvordan man på tilsvarende vis kan fordele delelige emner mellem tre eller flere personer. Disse er ikke alle lige attraktive, skriver de tre forskere og tilføjer:
‘Problemet blegner dog i forhold til at finde en metode til en fair fordeling af udelelige ting.’
Brams har i 1996 sammen med Alan Taylor fra Union College i New York udviklet en misundelsesfri metode til fordeling af en række udelelige emner.
Misundelsesfri dækker over, at ingen af personerne føler, at den anden har fået noget, vedkommende hellere selv ville have haft.
Brams-Taylor-metoden (BT) er meget enkel og illustreres bedst med eksemplet vist i grafikken.
Antag, at der er seks ting, der skal fordeles (se boks). A og B indleverer prioriterede lister for deres ønsker.
Man sammenligner de to første ønsker. Da de er forskellige, får A maleriet, og B får stolen. Dernæst ser man på de ufordelte ting – her har både A og B nu uret som det højeste ønske. Det overføres derfor i første omgang til en ufordelt pulje.
Den besværlige rest
Tilbage er nu tre ting. Af disse har A lampen som sit højeste ønske, og B har krukken som sit højeste. Derfor bliver den endelige fordeling, at A får maleri og lampe, B får stol og krukke, mens den ufordelte pulje består af ur og chatol.
Der findes forskellige metoder til behandling af emner i den ufordelte pulje. Disse kræver dog, at parterne giver mere information end en simpel rangordning.
Brams, Kilgour og Klamler har tidligere udviklet en misundelsesfri underbudsprocedure:
A foreslår en fordeling, hvor han beholder en bestemt andel af emnerne i den ufordelte pulje. B kan enten acceptere denne fordeling eller underbyde A ved at fjerne et (vilkårligt) emne, som så bliver den endelige fordeling.
I boksen er kort omtalt en metode til fordeling af tingene i denne pulje. Denne og andre metoder hertil er mere besværlige og mindre ‘retfærdige’ end BT-proceduren, men dog anvendelige.
Så langt, så godt. Men nu kommer Brams sammen med Kilgour og Klamler med en ny metode, der overgår Brams-Taylor-metoden.
Den nye algoritme, som de uvist af hvilken grund kalder AL, er som BT misundelsesfri, men den er derudover Pareto-optimal, dvs. der findes ingen anden misundelsesfri fordeling, der er bedre for begge personer. Der er heller ingen anden misundelsesfri fordeling, der efterlader færre emner i den ufordelte pulje – på den måde er AL maksimal.
Set fra A og B’s synspunkt er AL lige så let at håndtere som BT. De indleverer igen en prioriteret liste.
Det interessante er dog, at AL vil fordele de seks emner i eksemplet på en anden måde end BT – en måde, som er bedre, da den er Pareto-optimal.
Fordelingen bliver, at A modtager maleri og ur, mens B modtager stol og krukke, og den ufordelte pulje består af lampe og chatol.
Der er altså sket det, at både A og B får tildelt deres første- og tredjeprioritet, mens deres identiske fjerde- og sjetteprioriteter havner i den ufordelte pulje.
Med AL-metoden er B lige så godt stillet som med BT-metoden, mens A er bedre stillet.
De tre matematikere redegør i deres artikel helt præcist for, hvordan algoritmen skal implementeres i praksis. Den formelle beskrivelse er dog forholdsmæssig lang, så den må vi springe over her.
Ganske kort man kan sige følgende om det aktuelle eksempel:
Maleri og stol bliver fordelt på samme måde i BT og AL.
Når man kommer til uret, vil BT-metoden overføre det til den ufordelte pulje, mens AL vil undersøge, hvilke konsekvenser det vil have for fordelingen af de øvrige emner, hvis enten A eller B tildeles uret. Det fører i det aktuelle eksempel til, at A, men ikke B kan modtage uret.
Leave a Reply