Derfor findes der ingen mirakler – kun benhård statistik

What are the odds, tænker du måske, når du render ind i en gammel skolekammerat på den anden side af jordkloden. Men udregner man sandsynligheden, er den faktisk temmelig stor.

Og netop denne wow-effekt, når ‘usandsynlige’ begivenheder indtræffer, er baggrunden for bogen ’The Improbability Principle: Why Coincidences, Miracles, and Rare Events Happen Every Day’, som udkom tidligere på ugen.

Det er David J. Hand, statistiker og professor emeritus i matematik på Imperial College i London, der har ført pennen ud fra sin egen fascination af, hvorfor han selv og andre til stadighed bliver overrasket over hændelser, der – ifølge statistikken – faktisk er ganske sandsynlige.

»Der er bare noget over en sjælden begivenhed, og folk bidrager selv til mystikken, også når den ikke er begrundet. Derfor vil jeg gerne prøve at forklare, hvorfor det hele slet ikke er så mystisk – også selv om jeg selv bliver forbavset, når det sker for mig,« siger David Hand.

Han giver et eksempel på en konference, hvor han ved registreringen fik at vide, at der var en anden David Hand til stede.

»Og min reaktion var: ’Wow, et sammenfald,’ men i virkeligheden var det jo ikke en umulighed,« fastslår han.

Hold fokus og regn på det

Når han så alligevel bruger en hel bog på at pille alle ideer om skæbne, held og overtro fra hinanden, er det i håbet om, at folk ikke alene vil lade sig fascinere, men også forstå, hvorfor tilfældigheder og intuition ikke eksisterer, men at det handler om, hvor man har sit fokus, og om at regne på tingene.

I bogen fremhæver han blandt andet det kendte fødselsdags­eksempel: Hvor mange mennesker skal der være i et lokale, før der er en større sandsynlighed for, at to af dem deler fødselsdag, end at ingen gør?

Hvis du tænker, at der skal være 365 – eller 183 for at nå over midten – er spørgsmålet forstået forkert, hvilket ikke er så underligt. Typisk vil man nemlig begynde med at tage udgangspunkt i alle mulige fødselsdatoer over for sin egen.

Vigtigt er det imidlertid at huske alle parkombinationerne til stede i lokalet, så regnestykket bliver i virkeligheden n x (n-1)/2 par. For to mennesker er sandsynligheden for, at de ikke deler fødselsdag derfor 364/365 = 0,997. Kommer der en tredje person i spil, falder sandsynligheden til 364/365 x 363/365 = 0,992. Herefter vil den falde for hver ekstra person, der bliver tilføjet, indtil sidste tal er 343/365, hvorved det endelige udfald bliver 0,49.

Her er vi altså nået til, at sandsynligheden for en fælles fødselsdag er 1-0,49 = 0,51

Svaret er derfor 23 personer. Når n er 23, er der 253 muligheder for pardannelser, og regnestykket ovenfor går op.

Så intet sindssygt sammenfald her – blot et logisk regnestykke, der er blevet til ud fra de store tals lov (se faktaboksen).

Det er samme lov, der beviser, at hvis blot du kaster en terning tilstrækkeligt mange gange, skal der nok være lige så mange seksere som firere, når resultatet gøres op. Og kaster du en mønt tusind gange, vil den lande på krone meget tæt på halvdelen af gangene.

Og nej, det er ikke besynderligt – det er statistik. Og alligevel elsker eller hader vi at blive overrasket over situationer, som ellers nemt kan forklares i en sandsynlighedsberegning.

F.eks. opstod der i 2009 vild opstandelse i Bulgarien, da lotteritallene 4, 15, 23, 24, 35 og 42 blev udtrukket for anden gang blot fire dage efter, de senest var blevet udtrukket. Var der snyd med i spillet? For nu havde lotteriet kørt i 52 år, og noget lignende var aldrig sket før. Selv Bulgariens sportsminister ville til bunds i sagen.

Men ser vi på det med samme briller som fødselsdagsproblemet, kommer vi frem til et regnestykke, der fastslår, at der skal 4.404 trækninger til, før der er større sandsynlighed for samme kombination end ikke. Og med to trækninger om ugen vil det derfor tage mindre end 43 år at nå igennem, hvorfor statistikken holder.

1. Loven om det uundgåelige: Noget vil ske uanset hvad. Køber du 1.000 lottosedler ud af 1.000, vil du vinde.
2. Loven om store tal: Gør det samme længe, og noget sært vil ske, f.eks. udtrækning af samme lottotal to gange.
3. Loven om udvælgelse: Man kan ændre sandsynligheden aktivt. Nej, glasset med hele valnødder betyder ikke, at fabrikanterne aldrig får ødelagte nødder. De udvælger bare de bedste.
4. Loven om magt over sandsynlig­heden: Ofte kan man ændre på sandsynligheden. At en mand bliver ramt af lynet syv gange, kan hænge sammen med et udsat udendørsjob.
5. Loven om ’tæt nok på’: Møder du en person med et navn, der er tæt på dit eget, kan du stadig se det som pudsigt, selv om det ikke er helt det samme.

Forsikringsmatematikken

Og sådan er der utallige eksempler på, at hvad der ved første øjenkast ligner snyd eller mirakler, er forholdsvis nemt at udregne.

Alligevel er begrebet sandsynlighed et forholdsvis moderne begreb, der først blev taget i brug, da forsikringsselskaber begyndte at blive populære, og ikke noget, man kendte til før i 1500-tallet, forklarer Jørgen Hoffmann-Jørgensen, docent emeritus på Institut for Matematik på Aarhus Universitet.

»Forsikringsselskaber kunne ikke overleve, hvis de ikke kunne udregne sandsynligheder, og nogle nåede også at gå fallit, inden sandsynlighedsregningen kom til, fordi de ikke troede, at usandsynlige hændelser skete – men det gør de,« understreger han.

»Det er det samme, der gør sig gældende for den nuværende finanskrise. Det gik godt længe, og så troede man ikke, at det kunne gå anderledes. Men vi begår de samme fejl igen og igen uden at lære af dem, og jeg tror ikke, vi er skabt til at forstå sandsynligheder,« siger Jørgen Hoffmann-Jørgensen.

»Men sandsynlighed er også en mærkelig størrelse, for hvad er det for noget? En af mine venner fik at vide, at han havde 40 procent chance for at overleve det næste år med testikelkræft, og selv om dette tal giver mening for en læge, hvad skulle min ven så bruge det til?« spørger Jørgen Hoffmann-Jørgensen.

På samme måde, fortæller Jørgen Hoffmann-Jørgensen, fik han et opkald fra en politiker, dengang Store­bæltsforbindelsen var ved at blive bygget, for da havde man fået Cowi til at beregne, hvor stor sandsynligheden var for, at et brofag skulle styrte ned i tilfælde af en påsejling. Sandsynligheden blev beregnet til 5 procent. Og var et sådant tal stort nok til, at det kunne betale sig at installere central trafikstyring?

»Jeg sagde til hende, at det var en stor sandsynlighed i dette tilfælde, omend Storebæltsfærgen nåede at brage ind i en pille, inden beslutningen skulle tages, så nu er der trafikstyring,« siger han og understreger, at han i hvert fald ikke selv tror på mirakler:

»Der er ikke noget, der burde komme bag på én på noget tidspunkt. Jeg kan kun sige: Tvivl på din intuition, og stol på dine beregninger.«

David J. Hand: ‘The Improbability Principle: Why Coincidences, Miracles, and Rare Events Happen Every Day’. Udkom 11. februar 2014 på Scientific Americans forlag, FSG, og kan bl.a. købes som e-bog for $12,99.