50 er det mindste tal, der kan skrives som summen af to kvadrattal på to forskellige måder:
50 = 1² + 7² = 5² + 5²
Det er derudover summen af tre kvadrattal i rækkefølge: 3² + 4² + 5².
50 er altså et bemærkelsesværdigt tal, og for en matematikforening er der derfor en særlig grund til at festligholde et 50-års jubilæum og ved den lejlighed sætte tallet 50 i fokus.
Institute of Mathematics and its Applications (IMA) i Storbritannien blev oprettet i april 1964 og fejrer sit jubilæum i år, bl.a. med udgivelsen af bogen ‘50 Visions of Mathematics’.
Bogen indeholder 50 korte essays på 4-5 sider. Rækkefølgen er alfabetisk efter forfatterens efternavn. De korte essays kan altså læses helt uafhængigt af hinanden og i tilfældig rækkefølge.
Emnerne spænder vidt og omfatter både pudsig matematik, matematik til såvel fornøjelse og gavn samt matematisk filosofi og pædagogik.
De matematiske nedslag kan synes lidt tilfældige. Det har sin charme, men en lille smule matematisk struktur havde nu nok været gavnlig.
Det kræver ikke de helt store matematiske kundskaber at læse de korte artikler, der handler om mord, medicin, spil, sport m.m., da antallet af ligninger og den matematiske notation er holdt på et minimalt niveau.
Nogle af essayene er bearbejdede versioner af tidligere publicerede artikler, andre er helt nye. Tilsammen giver de et varieret indblik i matematikkens mangfoldighed.
Ingeniørens læserne vil ikke have besvær med det matematiske niveau. Alt i alt vil jeg mene, at mange med garanti vil finde bogen underholdende.
Tal i i tekst og billeder
En lille anke kan være, at de korte essays i visse tilfælde kommer til at virke noget overfladiske. Referencer til uddybende materiale findes, men når dette ikke er lige ved hånden, er det nok de færreste læsere, som efterfølgende finder det frem.
Når man har lagt sig fast på de 50 artikler, kan det nok ikke være anderledes, men jeg vil nu ikke anbefale, at man ved 75-års eller 100-års jubilæet laver en bog efter samme opskrift, men hvor man skærer de enkelte artikler tilsvarende ned for at undgå, at den samlede bog svulmer op.
Ud over de 50 essays indeholder bogen 50 illustrationer af matematikkens visioner.
Disse billeder er udvalgt efter forslag fra medlemmerne af IMA og læserne af det britiske matematiktidsskrift Plus.
Bogens redaktør, Sam Parc, skriver i et forord, at heller ikke billederne er præsenteret i nogen bestemt rækkefølge, ligesom de heller ikke kan siges at udgøre en top-50 ud fra objektive kriterier. Han skriver:
‘Matematik er et visuelt område, og billederne skal vise den del af visionen’.
Billedmaterialet spænder som essaysene vidt, der er både fotos, computergrafik og håndtegnede skitser.
De enkelte illustrationer ledsages kun af ganske korte tekster – og flere af dem kunne med fordel have haft mere uddybende beskrivelser.
Beviser kommer og går
Matematikstuderende Adam Jasko fra University of Nottingham skriver om matematiske beviser.
Her er hans eksempel, der ‘beviser’, at 2 = 1
Hvis vi går ud fra, at a = b, så er a² = ab
Vi kan addere a² på begge sider
2a² = a² + ab
Dernæst fratrækkes 2ab:
2a² – 2ab = a² – ab, eller
2(a² – ab) = 1 (a² – ab)
Ved eliminering af den samme faktor fås: 2 = 1
Fejlen i beviset er ikke svær at finde, men som Adam Jasko skriver, så kan det være ganske svært at gennemgå meget store og komplicerede beviser.
Kan vi i det hele taget være sikre på, at matematiske beviser holder, spørger Adam Jasko.
Det korte svar er nej, svarer han selv. Der er flere eksempler på, at der er fundet fejl i beviser mange år efter, de blev præsenteret.
Selv de bedste matematikere tager af og til fejl. I modsætning til naturvidenskab findes den ufejlbarlige sandhed i princippet inden for matematik. Alligevel kan det nogle gange være svært at være sikker på sandheden.
Hvad gør 495 og 6174 specielle?
Yutaka Nishiyama fra Osaka University of Economics i Japan skriver om Kaprekars operation opkaldt efter den indiske matematiker D.R. Kaprekar, der opfandt den i 1949.
Tag et firecifret tal, hvor ikke alle cifre er ens (altså ikke 0000, 1111, 2222 osv.). Eksempelvis 2014.
Omarranger cifrene til at give det største tal og mindste tal – i dette tilfælde 4210 og 0124. Træk det mindste fra det største. Resultatet er 4086.
Gentag nu proceduren med at omarrangere cifre og subtrahere det mindste fra det største igen og igen. Efter syv gennemløb ender du med 6174 – og her stopper processen. Du kommer aldrig videre.
Vælg et andet firecifret tal, hvor ikke alle cifre er ens. Og med samme procedure ender du igen med 6174. Er udgangspunktet et trecifret tal efter samme opskrift, slutter regnestykket altid med 495.
Disse tal kaldes ‘kernen’ for henholdsvis firecifrede og trecifrede tal.
Hvad er kernen så monstro for tocifrede eller femcifrede tal?
Det måske noget overraskende svar er, at der ingen kerne findes for disse tal.
For sekscifrerede tal ender regnestykket enten i 549945 eller 631764, der findes ingen unik kerne.
495 og 6174 er helt specielle tal ved at være en unik kerne for henholdsvis tre- og firecifrede tal.
»Det er så smukt, at det må være end et rent tilfælde,« bemærker Nishiyama, som mener, at der kan findes et skjult matematisk teorem, der venter på at blive opdaget.
Hvad man skal bevise, kan også være et problem.
Sam Parc (redaktør): ‘50 Visions of Mathematics’, 208 sider, 24,99 GBP, Oxford University Press, 2014.
Leave a Reply