Primtal fascinerer både professionelle matematikere og amatørmatematikere. Et af de mere kuriøse spørgsmål drejer sig om, hvor stor afstanden mellem to på hinanden følgende primtal kan være.
Det er en problemstilling, hvor en dansk amatørmatematiker sidder på flere verdensrekorder, og hvor professionelle matematikere nu har fremlagt et nyt bevis for, hvordan denne størrelse kan udtrykkes.
Mere præcist drejer problematikken sig om funktionen G(X), der er antallet af heltal mellem X og det næste primtal, eksempelvis G(3)=1, G(113)=13, G(9.551)=35 osv.
Den danske amatørmatematiker Jens Kruse Andersen er blandt verdens bedste, når det gælder om at finde store afstande mellem primtal. Han vedligeholder et website med det passende navn primerecords.dk, hvor hans egne og andres resultater kan findes.
Antallet af tal mellem to primtal kalder vi G(X), hvor X er det mindste af to primtal, der følger efter hinanden. Eksempelvis G(2)=0, G(3)=1, G(5)=1, G(7)=3 osv.
Lad nu n være et heltal større end 1 og betragt rækkefølgen n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, …, n!+n. 2 går op i det første led, 3 i det næste osv., indtil n går op i sidste led (led nr. n-1). Ingen af disse tal i rækkefølge er altså primtal.
Hvis X er det mindste primtal mindre end n!+2 er G(X) > n-1. Da vi kan vælge n vilkårligt stort, kan G(X) også være vilkårlig stor eller for n → ∞ har vi G(X) → ∞.
Eksempler: Med n=5 får vi rækkefølgen 122, 123, 124, 125. Det mindste primtal mindre end 122 er 113, og det næste primtal er 127, dvs. G(113)= 13 > (5-1)=4.
Med n= 4 får vi rækkefølgen 26, 27, 28. Det mindste primtal mindre end 26 er 23, og det næste primtal er 29, dvs. G(23)=5 > (4-1)=3
Sammen med Michiel Jansen har Jens Kruse Andersen rekorden for den største afstand mellem to primtal, der følger efter hinanden. Den er fundet for tallene 226.007#/2.310 – 2.305.218 og 226.007#/2.310 + 1.006.634, som begge har 97.953 cifre. Afstanden er 3.311.851. #-tegnet betegner produktet af alle primtal, der er mindre end eller lig med tallet foran – det kaldes for n primorial eller n primultet (eksempelvis er 7# = 7 x 5 x 3 x 2 = 210).
Læs også: Primtal: Fakta og formodninger
De to rekordprimtal er mere præcist karakteriseret som værende sandsynlige primtal, dvs. tal, der enten er ægte primtal eller deler mange af de samme egenskaber – men som i princippet godt med en meget lille sandsynlighed kan være sammensatte tal.
Det er forholdsvis enkelt at vise, at G(X) kan være vilkårligt stor, men det er faktisk muligt at gøre det bedre.
Finsk matematiker lagde fundamentet
Den finske matematiker Erik Johan Westzynthius er kun kendt for én ting: at han i 1931 beviste, at G(X)/logX kan være vilkårligt stor (logX betegner den naturlige logaritme – ikke titalslogaritmen). Dette forhold kalder matematikerne for merit, som for Jens Kruse Andersens primtalsrekord er 14,68 – størst kendte merit er på 35,43 og er fundet af Michiel Jansen i 2012 for to tal med en afstand på 66.519.
Westzynthius’ formel blev yderligere forbedret i 1935 af den ungarske matematiker Paul Erdös og i 1938 af den skotske matematiker Robert A. Rankin. Rankins udtryk er det samme, som den viste formel i illustrationen, men med f(X) erstattet af et tal c. Rankin kunne vise, at formlen holdt for c=1/3. Dette resultat er siden gradvist forbedret, senest af den ungarske matematiker János Pintz, som i 1997 beviste, at formlen gjaldt for c=3,56.
I to artikler offentliggjort med en dags mellemrum på arxiv.org i slutningen af august er det nu vist, at c kan være vilkårligt stor – eller erstattes med en funktion f(X) som går mod uendelig for X gående mod uendelig. Bag den første af de to artikler stod fire matematikere anført af Kevin Ford fra University of Illinois og med deltagelse af den kendte matematiker Terence Tao fra University of California, Los Angeles, og bag den næste stod den unge britiske matematiker James Maynard p.t. tilknyttet Université de Montréal.
Et favoritproblem
Paul Erdös beskrev i 1990 i et bogkapitel, ‘Some of my favourite unsolved problems’, at det var et af hans favoritproblemer, og han udlovede med egne ord ‘måske noget overilet’, en dusør på 10.000 dollars for et bevis. Erdös døde i 1996.
Jens Kruse Andersen, der har en bacheloruddannelse fra Københavns Universitet i datalogi med bifag i matematik, finder det nye bevis interessant, men han mener ikke, det får nogen betydning for jagten på nye primtalsrekorder, som er det, der interesserer ham mest:
»Når jeg har arbejdet på et program, finder jeg det meget tilfredsstillende, når det søgte resultat bliver fundet. Det er også sjovt, når ens resultater publiceres på rekordsider på internettet,« siger han.
Leave a Reply