Praktisk matematik og økonomisk vækst gik hånd i hånd i slutningen af middelalderen

Omkring år 1300 begyndte en økonomisk vækstperiode i Europa, som er blevet kaldt den kommercielle revolution.

Nye transportveje blev taget i brug, international handel tog fart, handelsmænd indgik partnerskaber og forsikrings- og bankvirksomheder voksede frem.

Der var stigende behov for blandt andet udregning af varepriser og forståelse af transaktioner i forskellige valutaer – og dermed et behov for undervisning i praktisk matematik for skoleelever.

Norditalien og Firenze var centrum for denne udvikling, der gjorde matematik til et arbejdsredskab.

Matematikeren Aksel Bertelsen har skrevet en bog om den såkaldte abbaco-kultur i Firenze, som hidtil kun i ringe omfang har været beskrevet på dansk. Ordet kommer af abacus, som betyder regnebræt, men det giver et misvisende indtryk, da det var brugen af arabertal, som var i højsædet, og hvis udbredelse undervisningen og lærebøger var med til at fremme.

I Firenze begyndte skolegangen i 6-7-års alderen med læsning og skrivning. Regning var sandsynligvis begrænset til simpel addition og subtraktion. I 10-11-års alderen fortsatte en del af eleverne i abbaco-skoler i to år, hvor pensum udelukkende var praktisk regning og matematik – multiplikation, division, brøkregning, forholdsregning, møntsystemer osv.

Herefter kunne børnene omkring 12-13 år begynde at arbejde i tekstilvirksomheder, handelshuse, banker og lignende.

Regula de tri

I Firenze blev undervisningen foretaget af private abbaco-mestre, mens den i andre byer var drevet af det offentlige.

En af de vigtigste regneregler, eleverne lærte, var 3-reglen eller regula de tri (på dansk også skrevet som reguladetri). En opgave kunne lyde sådan: ‘7 braccia klæde koster 9 lire, hvad koster 5 braccia?’ En braccio eller armslængde var cirka 70 centimeter.

Eleverne fik anvist en metode med ordene ‘gør sådan’, men ikke en matematisk forklaring på, hvorfor metoden var rigtig.

Altså: ‘Gør sådan: Gang størrelsen, du vil kende, med værdien af de 7 braccia, som er 9 lire. 5 gange 9 giver 45; del med 7, hvilket giver 6 lire og en rest på 3 lire.’

En mere generel beskrivelse af 3-reglen findes dog i en abbaco-bog af Piero della Francesca, som foruden at være abbaco-mester også var en berømt maler i slutningen af 1400-tallet med teoretiske bidrag til perspektivlæren.

Han skriver: ‘Reglen om de tre ting siger, at du skal gange tingen, som man vil kende, med den, som ikke er af samme slags, og dividere med den anden.’

Selv om handelsmænd som regel ikke kom ud for større problemer, end de kunne håndtere med de fire regnearter og 3-reglen, lærte eleverne dog også at løse vanskeligere matematiske opgaver.

Fra ord til symboler

Abbaco-undervisningen var i høj grad retorisk algebra, men der var tilløb til udviklingen af symbolsk algebra, som vi kender det i dag.

Det er et forhold, som bl.a. Jens Høyrup, emeritus med tilknytning til Roskilde Universitet, har redegjort detaljeret for. Hans engelsksprogede skrifter er de rette at konsultere for særligt interesserede i abbaco-skolerne og den historiske udvikling af matematikken i denne periode.

Med bogen Liber Abaci fra 1202 skrevet på latin indførte matematikeren Fibonacci arabertal, eller mere præcist det hindu-arabiske talsystem, for et europæisk publikum og viste dets overlegenhed i forhold til romertal. Fibonacci var bl.a. inspireret af al-Khwarizmi, der anses som grundlægger af algebra i 800-tallet.

Liber Abaci regnes som udgangspunktet for abbaco-skolerne og de tilhørende bøger på det lokale sprog, der kom frem i 1300-tallet, og som for alvor udbredte arabertallene i samfundet.

Jens Høyrup har dog argumenteret for, at påvirkningen kunne være den anden vej, så Fibonacci foruden at være inspireret al-Khwarizmi også kunne være påvirket af den allertidligste abbaco-undervisning. Fra al-Khwarizmi, Fibonacci og de første abbaco-mestre skete gradvist en udvikling mod en mere symbolpræget algebra, som blev fuldendt af Descartes i 1637, som gav algebra den form, vi kender i dag.

Den særlige abbaco-kultur sluttede i første halvdel af 1500-tallet, da interessen for matematikkens anvendelser inden for fysik betød, at matematik blev en universitetsuddannelse med bøger skrevet på latin frem for italiensk.