Ny matematisk indsigt i kaosteorien: Systemer kan både huske og glemme

Kaotiske systemer kan både huske og glemme, og det er forholdet mellem disse to egenskaber, der beskriver forskellen mellem forskellige former for kaotiske systemer.

Det forklarer tre forskere fra University of California at Davis og Sante Fe Institute i New Mexico i en ny artikel i Physics Letters A, som er frit tilgængelig via arxiv.org.

I en kommentar i Nature skriver Philippe Binder og Robert Pipes fra University of Hawaii, at denne indsigt kan være helt central for termodynamikkens anden hovedsætning, som siger, at i et lukket system vil entropien aldrig falde – mere populært udtrykt som, at verden går mod mere og mere kaos.

Struktur opstår ud fra kaos

Kaosteori, som fejrede sit 50 års jubilæum sidste år, er en deterministisk proces, der har et præg af tilfældighed. Tænk blot på vejret og den såkaldte sommerfugleeffekt.

Den russiske matematiker Andrej Kolmogorov udviklede i slutningen af 1950’erne på baggrund af Claude Shannons matematiske teori for information en metode til at beregne den information, som dannes i kaotiske processer.

Kolmogorovs student Yakov Sinai videreudviklede mange af Kolmogorovs tanker, og han modtog i år Abelprisen i matematik for ar være med til bringe orden i kaos.

Kolmogorov-Sinai entropi, siger kort fortalt noget om, med hvilken sikkerhed eller sandsynlighed, man kan sige noget om fremtiden for et system ud fra en observation af systemet i fortiden.

Det er det forhold, som beskriver, hvordan myrernes tilsyneladende tilfældige adfærd fører til komplekse myretuer, at magnetiske spin danner domæner osv.

Helt tilfældige processer som møntkast giver derimod ikke anledning til generering af information, som kan bruges til at forudsige noget som helst om de næste møntkast.

Ryan James, Korana Burke og James P. Crutchfield tilknyttet University of California at Davis og Santa Fe Institute i New Mexico forklarer nu, at denne skelnen mellem deterministiske og stokastiske systemer, er en alt for simpel beskrivelse.

Kortvarig kontra bunden information

Binder og Pipes giver i deres kommentar i Nature et eksempel på et elektrisk kredsløb, der danner en bitsekvens, som har den egenskab, at to nuller aldrig kan følge efter hinanden.

Denne egenskab giver en form for viden om både systemets tidligere tilstand og dets fremtidige tilstand ud fra en observation af den øjeblikkelige tilstand.

Hvis øjeblikstilstanden er ‘0’, så vides det nemlig, at systemet umiddelbart før og umiddelbart efter vil have tilstanden ‘1’. Det giver systemet hukommelse.

Hvis øjeblikstillstanden er ‘1’, er der derimod ingen viden om tilstanden umiddelbart før eller efter. Det betyder systemet også kan glemme.

Ryan James og co. giver i deres artikel en mere generel beskrivelse af forholdet mellem den kortvarige information, der dannes og efterfølgende glemmes, og den bundne information, der dannes og huskes i systemer, der er præget af deterministisk kaos.

Forskerne forklarer også, hvordan man skal beregne den kortvarige og bundne information i kaotiske systemer, og det giver med deres egne ord et nyt og bedre indblik i dynamiske systemer.

Her er et par eksempler:

Møntkast har en værdi for 1 for den kortvarige information, mens både den redundante og den bundne information er nul.

En proces, der kan skifte mellem to tilstande A og B, således at efter A kan enten følge A (bit 0) eller B (bit 1) – med lige stor sandsynlighed – mens efter B følger altid A (bit 1), har en værdi på 0,67 for den bundne information og 0 for den korvarige information. Der er altså hukommelse, men ingen forglemmelse

En tilsvarende proces, men hvor skiftet fra B til A resulterer i bit 0, har en værdi for den kortvarige information på 0,46, mens den bundne information er 0,21. Her er der både forglemmelse og hukommelse. Dette eksempel svarer til det elektriske kredsløb fra Binder og Pipes – dog således, at det her gælder, at det er to ettaller, der aldrig kan følge efter hinanden.

Tidens pil

Binder og Pipes spekulerer yderligere i, at denne nye indsigt kan føre til en bedre forståelse af, hvordan entropien i et system af gasmolekyler udvikler sig, og det kan føre til en bedre forståelse af ‘tidens pil’, der er knyttet til termodynamikkens anden hovedsætning.